Решить систему линейных уравнений в матричной форме
\(\left\{ \begin{array}{lcl} 3\times x_1+2\times x_2-x_3&=&2\\ x_1+x_2+2\times x_3&=&2\\ 2\times x_1+2\times x_2+5\times x_3&=&3.\\ \end{array}\right. \)
Решим эту систему с помощью обратной матрицы, записав ее предварительно в матричной форме
\(A\times X=B,\)
где \(A\) - матрица коэффициентов при переменных, а \(X\) и \(B\) - матрицы-столбцы переменных и свободных членов.
В нашем случае
\(A=\begin{pmatrix}3&2&-1\\1&1&2\\2&2&5\end{pmatrix};B=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix};X=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix},\)
таким образом, в матричной форме система имеет следующий вид:
\(\begin{pmatrix}3&2&-1\\1&1&2\\2&2&5\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}.\)
Уравнение можно решить, если матрица \(A\) - неособенная, так как в этом случае существует обратная матрица \(A^{-1}\) и
\(X=A^{-1}\times B.\)
Для нахождения матрицы \(A^{-1}\) необходимо, прежде всего, вычислить определитель матрицы \(A\) и убедиться в том, что она - неособенная. Для этого воспользуемся теоремой Лапласа
\(\vert A\vert=a_{11}\times A_{11}+a_{21}\times A_{21}+a_{31}\times A_{31},\)
где \(A_{ij}\) - алгебраические дополнения элементов \(a_{ij}\) матрицы \(A\).
Алгебраическим дополнением элемента \(a_{ij}\) матрицы \(A\) называется число
\(A_{ij}={(-1)}^{i+j}\times M_{ij},\)
где \(M_{ij}\) - дополнительный минор, определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы \(A\) путём вычёркивания \(i\)-й строки и \(j\)-го столбца.
Используя определение, получим
\(A_{11}=\left(-1\right)^{1+1}\times\begin{vmatrix}1&2\\2&5\end{vmatrix}=1\times5-2\times2=1;\)
\(A_{21}=\left(-1\right)^{2+1}\times\begin{vmatrix}2&-1\\2&5\end{vmatrix}=-(2\times5-2\times(-1))=-12;\)
\(A_{31}=\left(-1\right)^{3+1}\times\begin{vmatrix}2&-1\\1&2\end{vmatrix}=2\times2-1\times(-1)=5.\)
Следовательно,
\(\vert A\vert=3\times1+1\times\left(-12\right)+2\times5=1\neq0.\)
Итак, \(\vert A\vert=1\neq0\). Следовательно, матрица \(A\) неособенная, и для нее существует обратная матрица
\(A^{-1}=\displaystyle\frac{1}{\vert A\vert}\times\overline{A},\)
где \(\overline{A}\) - матрица, присоединенная к матрице \(A\).
В нашем случае:
\(\overline{A}=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{21}&A_{31}\\A_{12}&A_{22}&A_{32}\\A_{13}&A_{23}&A_{33}\end{pmatrix}.\)
Элементы первой строки матрицы \(\overline{A}\) уже найдены. Находим остальные элементы:
\(A_{12}=\left(-1\right)^{1+2}\times\begin{vmatrix}1&2\\2&5\end{vmatrix}=-1;\)
\(A_{22}=\left(-1\right)^{2+2}\times\begin{vmatrix}&-1\\2&5\end{vmatrix}=17;\)
\(A_{32}=\left(-1\right)^{3+2}\times\begin{vmatrix}3&-1\\1&2\end{vmatrix}=-7;\)
\(A_{13}=\left(-1\right)^{1+3}\times\begin{vmatrix}1&1\\2&2\end{vmatrix}=0;\)
\(A_{23}=\left(-1\right)^{2+3}\times\begin{vmatrix}3&2\\2&2\end{vmatrix}=-2;\)
\(A_{33}=\left(-1\right)^{3+3}\times\begin{vmatrix}3&2\\1&1\end{vmatrix}=1.\)
Таким образом, присоединенная матрица:
\(\overline{A}=\begin{pmatrix}1&-12&5\\-1&17&-7\\0&-2&1\end{pmatrix}.\)
Зная \(\overline{A}\) и \(\vert A\), находим обратную матрицу \(A^{-1}\):
\(A^{-1}=\displaystyle\frac{1}{1}\times\begin{pmatrix}1&-12&5\\-1&17&-7\\0&-2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-12&5\\-1&17&-7\\0&-2&1\end{pmatrix}.\)
Мы воспользовались определением произведения матрицы на число, в нашем случае равное 1.
Проверим правильность вычислений, т.е. что \(A\times A^{-1}=E\), где \(E\) - единичная матрица 3-го порядка. По определению произведения матриц получим:
\(A\times A^{-1}=\begin{pmatrix}3&2&-1\\1&1&2\\2&2&5\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1&-12&5\\-1&17&-7\\0&-2&1\end{pmatrix}=\)
\(=\begin{pmatrix}3\times 1+2\times(-1)+(-1)\times 0&3\times(-12)+2\times 17+(-1)\times(-2)&3\times 5+2\times(-7)+(-1)\times 1\\1\times 1+1\times(-1)+2\times 0&1\times(-12)+1\times 17+2\times(-2)&1\times 5+1\times(-7)+2\times 1\\2\times 1+2\times(-1)+5\times 0&2\times(-12)+2\times 17+5\times(-2)&2\times 5+2\times(-7)+5\times 1\end{pmatrix}=\)
\(=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=E.\)
Проверка подтвердила правильность найденной нами матрицы.
И, наконец, находим матрицу-столбец неизвестных:
\(X=A^{-1}\times B=\begin{pmatrix}3&2&-1\\1&1&2\\2&2&5\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\times 1+(-12)\times 2+5\times 3\\-1\times 1+17\times 2+(-7)\times 3\\0\times 1+(-2)\times 2+1\times 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-8\\12\\-1\end{pmatrix}.\)
Итак, \(x_1=-8\); \(x_2=12\); \(x_3=-1\). Сделаем проверку, подставив найденное решение в каждое уравнение системы.
Проверка:
\(3\times(-8)+2\times 12-(-1)=1\); \(1=1\).
\(-8+12+2\times(-1)=2\); \(2=2\).
\(2\times(-8)+2\times 12+5\times(-1)=3\); \(3=3\).
Итак, мы видим, что после подстановки в систему каждое уравнение обратилось в числовое тождество.
Ответ. \(x_1=-8\); \(x_2=12\); \(x_3=-1\).
Просьбы и пожелания озвучивайте через комментарии в сообществе ВКонтакте и канале Telegram. Всякие замечания по содержанию и оформлению, в том числе недоброжелательные по форме и сути, будут приняты с благодарностью.