Имеются результаты группировки выборки (Таблица 1).
| Номер интервала | Границы интервала | Частота | Относительная частота | |
|---|---|---|---|---|
| Левая | Правая | |||
| 1 | 1 | 4 | 6 | 0,30 |
| 2 | 4 | 7 | 5 | 0,25 |
| 3 | 7 | 10 | 3 | 0,15 |
| 4 | 10 | 13 | 3 | 0,15 |
| 5 | 13 | 16 | 3 | 0,15 |
Провести точечную и интервальную оценку численного значения оцениваемого показателя.
В качестве оценки значения определяемого показателя используется оценка его математического ожидания. Точечной оценкой математического ожидания является выборочная средняя, которая рассчитывается по формуле:
\(\overline{x}=\dfrac{\sum n_{i}\times x_{i}}{n},\)
где \(i\) – номер интервала; \(x_i\) – середина \(i\)–го интервала; \(n_i\) – количество элементов, попавших в \(i\)-ый интервал; \(n\) – объем выборки.
Середина интервала
\(x_i=\dfrac{x_{i,л}+x_{i,пр}}{2},\)
где \(x_{i,л}\) и \(x_{i,пр}\) − соответственно левая и правая граница \(i\)–го интервала.
Середина первого интервала
\(x_1=\dfrac{1+4}{2}=2,5\).
Для остальных интервалов расчет производим аналогично, результаты сводим в таблицу 2.
Объем выборки
\(n=\sum n_i=20\).
Рассчитываем выборочную среднюю
\(\overline x=\dfrac{146}{20}=7,3\).
Интервальную оценку математического ожидания можно представить в виде:
\(m_x=\overline x\pm\Delta\),
где \(\Delta\) – доверительный интервал:
\(\Delta=k\times\hat{\sigma}_{\overline x}\),
где \(k\) – коэффициент охвата; \(\hat{\sigma}_{\overline x}\) – выборочное среднее квадратическое отклонение величины \(\overline x\).
Считая распределение исходной выборки нормальным, при доверительной вероятности 0,95, значение \(k=2\).
Среднее квадратическое отклонение величины \(\overline x\)
\(\hat{\sigma}_{\overline x}=\dfrac{\widehat{\sigma_x}}{\sqrt n}\),
где \(\widehat{\sigma_x}\) – выборочное среднее квадратическое отклонение величины \(x\).
\(\widehat{\sigma_x}=\sqrt{\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}n_i\times{x_i-\overline x}}{n}}\).
Для первого интервала
\(n_1\times(x_1-\overline x)^2=6\times(2,5-7,3)^2=138,24\).
Для остальных интервалов расчет производим аналогично. Промежуточные результаты расчетов также вносим в таблицу 2. Подставляя их данную формулу, получаем:
\(\widehat{\sigma_x}=\sqrt{\dfrac{367,2}{20}}=4,28\).
Стандартное отклонение среднего значения
\(\hat{\sigma}_{\overline x}=\dfrac{4,28}{\sqrt 20}\).
Доверительный интервал
\(\Delta=2\times0,96=1,92\).
Интервальная оценка математического ожидания
\(m_x=7,3\pm1,92\).
| Номер интервала | Середина интервала | Частота \(n_i\) | \(n_i\times x_i\) | \((x_i-\overline x)^2\) | \(n_i\times(x_i-\overline x)^2\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2,5 | 6 | 15 | 23,04 | 138,24 |
| 2 | 5,5 | 5 | 27,5 | 3,24 | 16,2 |
| 3 | 8,5 | 3 | 25,5 | 1,44 | 4,32 |
| 4 | 11,5 | 3 | 34,5 | 17,64 | 52,92 |
| 5 | 14,5 | 3 | 43,5 | 51,84 | 155,52 |
| Сумма | 20 | 146 | 367,2 |
Ответ
Точечная и интервальная оценка показателя:
\(m_x=7,3\pm1,92\).
Просьбы и пожелания озвучивайте через комментарии в сообществе ВКонтакте и канале Telegram. Всякие замечания по содержанию и оформлению, в том числе недоброжелательные по форме и сути, будут приняты с благодарностью.