Найти пределы:
| а) \(\displaystyle\lim_{n\to -1}\dfrac{6\times x^2+13\times x+7}{\sqrt{x+5}-\sqrt{3-x}}\) | в) \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\Biggl(1-2\times x\Biggr)^{\dfrac{1}{5\times x}}\) |
| б) \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin^2 x}{1-\sqrt{\cos x}}\) | г) \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin{4\times x}}{3^x-1}\) |
а) Функция, предел которой при \(x\to -1\) требуется найти, представляет собой частное двух функций. Однако применять теорему о пределе частного в данном случае нельзя, так как предел функции, стоящей в знаменателе, при \(x\to -1\) равен нулю.
Преобразуем данную функцию, умножив числитель и знаменатель дроби, находящейся под знаком предела, на выражение \(\sqrt{x+5}+\sqrt{3-x}\), сопряженное знаменателю. Параллельно разложим квадратный трехчлен в числителе на линейные множители:
\(\dfrac{6\times x^2+13\times x+7}{\sqrt{x+5}-\sqrt{3-x}}=\)
\(=\dfrac{(6\times x+7)\times(x+1)\times(\sqrt{x+5}+\sqrt{3-x})}{(\sqrt{x+5}-\sqrt{3-x})\times(\sqrt{x+5}+\sqrt{3-x})}=\)
\(=\dfrac{(6\times x+7)\times(x+1)\times(\sqrt{x+5}+\sqrt{3-x})}{(x+5)-(3-x)}=\)
\(=\dfrac{(6\times x+7)\times(x+1)\times(\sqrt{x+5}+\sqrt{3-x})}{2\times(x+1)}\).
Сокращая теперь числитель и знаменатель последней дроби на общий множитель \(x+1\), получим новую функцию
\(y=\dfrac{(6\times x+7)\times(\sqrt{x+5}+\sqrt{3-x})}{2}\),
которая отличается от данной значением лишь в одной точке \(x=-1\): данная функция в этой точке не определена, а новая определена и непрерывна как элементарная функция. Поскольку переопределение функции в одной точке не сказывается на значении предела и поскольку для функции, непрерывной в точке \(x_0\), ее предел при \(x\to x_0\) равен значению этой функции в точке \(x_0\), то
\(\displaystyle\lim_{n\to -1}\dfrac{6\times x^2+13\times x+7}{\sqrt{x+5}-\sqrt{3-x}}=\)
\(=\displaystyle\lim_{n\to -1}\dfrac{(6\times x+7)\times(\sqrt{x+5}-\sqrt{3-x})}{2}=\)
\(=\dfrac{(6\times(-1)+7)\times(\sqrt{-1+5}+\sqrt{3-(-1)})}{2}=2\).
б) Начнем преобразования с умножения числителя и знаменателя дроби, стоящей под знаком предела, на выражение, сопряженное к знаменателю:
\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin^2 x}{1-\sqrt{\cos x}}=\)
\(=\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin^2 x\times(1+\sqrt{\cos x})}{(1-\sqrt{\cos x})\times(1+\sqrt{\cos x})}=\)
\(=\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{2\times \sin^2{\dfrac{x}{2}}\times\cos^2{\dfrac{x}{2}}\times(1+\sqrt\cos x)}{2\sin^2\dfrac{x}{2}})=\)
\(=\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(2\times\cos^2\dfrac{x}{2}\times(1+\sqrt{\cos x})\right)=4\).
Использованы формулы соотношений между тригонометрическими функциями \(\sin^2 x=1-\cos^2 x\) и \(\sin(2\times x)=2\times\sin x\times\cos x\).
в) Введем новую переменную
\(y=-\dfrac{1}{2\times x}\).
Тогда
\(\dfrac{1}{5\times x}=-\dfrac{y}{2,5}\).
Предел функции \(y\) при \(x\to 0\) равен \(\infty\), то есть \(y\to\infty\) при \(x\to 0\).
Следовательно,
\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\Biggl(1-2\times x\Biggr)^{\dfrac{1}{5\times x}}=\)
\(=\displaystyle\lim_{x\to 0}\Biggl(1-2\times x\Biggr)^{-\dfrac{1}{2\times x}\times\left(-\dfrac{2}{5}\right)}=\)
\(=\displaystyle\lim_{y\to\infty}\Biggl(1+\dfrac{1}{y}\Biggr)^{-\dfrac{2}{5\times y}}=e^{-\frac{2}{5}}\).
Использован второй замечательный предел \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x=e\).
г) Представим выражение под знаком предела в виде
\(\dfrac{\sin(4\times x)}{3^x-1}=\)
\(=\dfrac{(\sin(4\times x)\times 4\times x}{4\times x\times (3^x-1)}\).
Далее находим:
\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(4\times x)}{4\times x}=1\),
\(\dfrac{4\times x}{3^x-1}=\dfrac{4×x}{e^{x\times\ln 3}-1}\),
\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{4\times x}{e^{x\times\ln 3}-1}=\)
\(\displaystyle\lim_{\to 0}\dfrac{4\times x\times x\times\ln{3}}{\left(e^{x\times\ln{3}}-1\right)\times x\times\ln{3}}=\dfrac{4}{\ln{3}}\).
Использованы первый замечательный предел \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin{x}}{x}=1\) и следствие из второго замечательного предела \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x-1}{x}=1\).
Просьбы и пожелания озвучивайте через комментарии в сообществе ВКонтакте и канале Telegram. Всякие замечания по содержанию и оформлению, в том числе недоброжелательные по форме и сути, будут приняты с благодарностью.