Задача

Заданы уравнения движения точки

\(x=3\times t^2-t+1\),

\(y=5\times t^2-\dfrac{5\times t}{3}-2\),

(\(x\), \(y\) - в сантиметрах, \(t\) - в секундах).

Определить траекторию точки и для момента времени \(t=1\) с найти:

• положение точки на траектории;
• скорость и ускорение точки;
• касательную и нормальную составляющие ускорения;
• радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Решение

Исключим из уравнений движения точки параметр \(t\)

\(5\times x=15\times t^2-5\times t+5\),

\(3\times y=15\times t^2-5\times t-6\),

\(3\times y-5\times x=-11\),

\(y=\dfrac{5\times x-11}{3}\).

Это уравнение прямой. Координаты точек:

Рис. 1.1

1. Координаты точки в начальный момент времени: \(x_0=1\) см, \(y_0=-2\) см.

Так как время \(t>0\) и может только возрастать, то из уравнений движения точки следует, что точка будет двигаться по вверх по прямой.

Координаты точки в заданный момент времени: \(x_1=3\) см, \(y_1=1,33\) см.

2. Проекции вектора скорости на оси координат:

\(\left\{\begin{array}{lcl}V_x=\dfrac{dx}{dt}=6\times t-1;\\V_y=\dfrac{dy}{dt}=10\times t-\dfrac{5}{3}.\\\end{array}\right.\)

Модуль скорости:

\(V=\sqrt{V_x^2+V_y^2}=\dfrac{\sqrt{34}}{3}\times(6\times t-1)\)

В момент времени \(t=1\) с:

\(V=\dfrac{\sqrt{34}}{3}\times(6-1)\approx 9,78\) см/с.

Вектор скорости совпадет с направлением прямой, поскольку движение происходит по прямой.

3. Аналогично найдем ускорение точки по его проекциям на координатные оси:

\(\left\{\begin{array}{lcl}a_x=\ddot{x}=6;\\a_y=\ddot{y}=10\\\end{array}\right.\)

\(a=\sqrt{a_x^2+a_y^2}=\sqrt{6^2+100^2}\approx 11,66\) см/с².

Модуль и направление вектора ускорения не зависят от времени, поэтому вектор ускорения направлен по прямой, равен касательной составляющей. Нормальное ускорение отсутствует.

4. Радиус кривизны траектории в любой точке равен бесконечности - \(\rho=\infty\), поскольку движение осуществляется по прямой.

Просьбы и пожелания через комментарии в сообществе ВКонтакте и канале Мах.