Задача № 1

Решить следующую систему линейных уравнений в матричной форме.

$\{\begin{array}{c}3x_1+2x_2-x_3=1\\ x_1+x_2+2x_3=2\\ 2x_1+2x_2+5x_3=3\end{array}$

Решение

Решим эту систему с помощью обратной матрицы, записав ее предварительно в матричной форме

A ⋅ X = B

где A - матрица коэффициентов при переменных, а X и B - матрицы-столбцы переменных и свободных членов.

В нашем случае:

$A=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& -1\\ 1& 1& 2\\ 2& 2& 5\end{array}\right);$ $B=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right);$ $X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right),$

таким образом, в матричной форме система имеет следующий вид:

$\left(\begin{array}{ccc}3& 2& -1\\ 1& 1& 2\\ 2& 2& 5\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)$

Уравнение можно решить, если матрица A - неособенная, так как в этом случае существует обратная матрица A^-1 и X = A^-1 ⋅ B.

Для нахождения матрицы A^-1 необходимо, прежде всего, вычислить определитель матрицы A и убедиться в том, что она - неособенная. Для этого воспользуемся теоремой Лапласа

|A| = a₁₁ ⋅ A₁₁ + a₂₁ ⋅ A₂₁ + a₃₁ ⋅ A₃₁,

где A_ij - алгебраические дополнения элементов a_ij матрицы A.

Используя определение, получим

$A_{11}={\left(-1\right)}^{1+1}·\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 5\end{array}\right|=1·5-2·2=1;$

$A_{21}={(-1)}^{2+1}·\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 2& 5\end{array}\right|=-(2·5-2·(-1\left)\right)=-12;$

$A_{31}={\left(-1\right)}^{3+1}·\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 2\end{array}\right|=2·2-1·\left(-1\right)=5.$

Следовательно,

|A| = 3 ⋅ 1 + 1 ⋅ (-12) + 2 ⋅ 5 = 1 ≠ 0.

Итак, |A| = 1 ≠ 0. Следовательно, матрица A неособенная, и для нее существует обратная матрица

$A^{-1}=\frac{1}{\mid A\mid }·\overline{A},$

где $\overline{A}$ - матрица, присоединенная к матрице A.

В нашем случае:

$\overline{A}=\left(\begin{array}{ccc}{A}_{11}& A_{21}& A_{31}\\ A_{12}& A_{22}& A_{23}\\ A_{13}& A_{23}& A_{33}\end{array}\right).$

Элементы первой строки матрицы $\overline{A}$ уже найдены. Находим остальные элементы:

$A_{12}={(-1)}^{1+2}·\mid \begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 5\end{array}\mid =-1;A_{22}={\left(-1\right)}^{2+2}·\mid \begin{array}{cc}3& -1\\ 2& 5\end{array}\mid =17;A_{32}={\left(-1\right)}^{3+2}·\left|\begin{array}{cc}3& -1\\ 1& 2\end{array}\right|=-7;$

$A_{13}={(-1)}^{1+3}·\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 2\end{array}\mid =0;A_{23}={\left(-1\right)}^{2+3}·\mid \begin{array}{cc}3& 2\\ 2& 2\end{array}\mid =-2;A_{33}={\left(-1\right)}^{3+3}·\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ 1& 1\end{array}\right|=1.$

Таким образом, присоединенная матрица:

$\overline{A}=\left(\begin{array}{ccc}1& -12& 5\\ -1& 17& -7\\ 0& -2& 1\end{array}\right).$

Зная $\overline{A}$ и |A|, находим обратную матрицу A^-1:

$A^{-1}=\frac{1}{\left|A\right|}·\overline{A}=\frac{1}{1}·\left(\begin{array}{ccc}1& -12& 5\\ -1& 17& -7\\ 2& -2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& -12& 5\\ -1& 17& -7\\ 2& -2& 1\end{array}\right).$

Мы воспользовались определением произведения матрицы на число, в нашем случае равное 1.

Проверим правильность вычислений, т.е. что A ⋅ A^-1 = E, где E - единичная матрица 3-го порядка. По определению произведения матриц получим:

$A·A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& -1\\ 1& 1& 2\\ 2& 2& 5\end{array}\right)·\left(\begin{array}{ccc}1& -12& 5\\ -1& 17& -7\\ 0& -2& 1\end{array}\right)=$

$=\left(\begin{array}{ccc}3·1+2·\left(-1\right)+\left(-1\right)·0& 3·\left(-12\right)+2·17+\left(-1\right)·\left(-2\right)& 3·5+2·\left(-7\right)+\left(-1\right)·1\\ 1·1+1·\left(-1\right)+2·0& 1·\left(-12\right)+1·17+2·\left(-2\right)& 1·5+1·\left(-7\right)+2·1\\ 2·1+2·\left(-1\right)+5·0& 2·\left(-12\right)+2·17+5·\left(-2\right)& 2·5+2·\left(-7\right)+5·1\end{array}\right)=$

$=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=E.$

Проверка подтвердила правильность найденной нами матрицы.

И, наконец, находим матрицу-столбец неизвестных:

$X=A^{-1}·B=\left(\begin{array}{ccc}1& -12& 5\\ -1& 17& -7\\ 0& -2& 1\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1·1+\left(-12\right)·2+5·3\\ -1·1+17·2+\left(-7\right)·3\\ 0·1+\left(-2\right)·2+1·3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\\ 12\\ -1\end{array}\right).$

Итак, x₁ = -8; x₂ = 12; x₃ = -1. Сделаем проверку, подставив найденное решение в каждое уравнение системы.

Проверка:

3 ⋅ (-8) + 2 ⋅ 12 + (-1) ⋅ (-1) = 1; 1 = 1;

1 ⋅ (-8) + 1 ⋅ 12 + 2 ⋅ (-1) = 2; 2 = 2;

2 ⋅ (-8) + 2 ⋅ 12 + 5 ⋅ (-1) = 3; 3 = 3.

Итак, мы видим, что после подстановки в систему каждое уравнение обратилось в числовое тождество.

Ответ. x₁ = -8; x₂ = 12; x₃ = -1.

НАВЕРХ

Задача № 2

Найти пределы:

Решение

а) Функция, предел которой при x → -1 требуется найти, представляет собой частное двух функций. Однако применять теорему о пределе частного в данном случае нельзя, так как предел функции, стоящей в знаменателе, при x → -1 равен нулю.

Преобразуем данную функцию, умножив числитель и знаменатель дроби, находящейся под знаком предела, на выражение $\sqrt{x+5}-\sqrt{3-x},$ сопряженное знаменателю. Параллельно разложим квадратный трехчлен в числителе на линейные множители:

$\frac{6x^2+13x+7}{\sqrt{x+5}-\sqrt{3-x}}=\frac{\left(6x+7\right)\left(x+1\right)(\sqrt{x+5}+\sqrt{3-x})}{(\sqrt{x+5}-\sqrt{3-x})(\sqrt{x+5}+\sqrt{3-x})}=$

$=\frac{\left(6x+7\right)\left(x+1\right)(\sqrt{x+5}+\sqrt{3-x})}{\left(x+5\right)-\left(3-x\right)}=\frac{\left(6x+7\right)\left(x+1\right)(\sqrt{x+5}+\sqrt{3-x})}{2\left(x+1\right)}.$

Сокращая теперь числитель и знаменатель последней дроби на общий множитель x + 1, получим новую функцию

$y=\frac{\left(6x+7\right)(\sqrt{x+5}+\sqrt{3-x})}{2},$

которая отличается от данной значением лишь в одной точке x = -1: данная функция в этой точке не определена, а новая определена и непрерывна как элементарная функция. Поскольку переопределение функции в одной точке не сказывается на значении предела и поскольку для функции, непрерывной в точке x₀, ее предел при x → x₀ равен значению этой функции в точке x₀, то

$\underset{x\to -1}{\lim }\frac{6x^2+13x+7}{\sqrt{x+5}-\sqrt{3-x}}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{\left(6x+7\right)(\sqrt{x+5}+\sqrt{3-x})}{2}=$

$=\frac{\left(6·\left(-1\right)+7\right)(\sqrt{-1+5}+\sqrt{3-\left(-1\right)})}{2}=2.$

б) Начнем преобразования с умножения числителя и знаменателя дроби, стоящей под знаком предела, на выражение, сопряженное к знаменателю:

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\sin }^{2}x}{1-\sqrt{\cos x}}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\sin }^{2}x\left(1+\sqrt{\cos x}\right)}{\left(1-\sqrt{\cos x}\right)\left(1+\sqrt{\cos x}\right)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{4{\sin }^2\frac{x}{2}{\cos }^2\frac{x}{2}\left(1+\sqrt{\cos x}\right)}{2{\sin }^2\frac{x}{2}}=$

$=\underset{x\to 0}{\lim }2{\cos }^2\frac{x}{2}\left(1+\sqrt{\cos x}\right)=2.$

Использованы формулы соотношений между тригонометрическими функциями sin²x = (1 - cos²x) и sin(2x) = 2 · sinx · cosx.

в) Введем новую переменную

$y=-\frac{1}{2x}.$

Тогда

$\frac{1}{5x}=-\frac{y}{\mathrm{2,5}}.$

Предел функции y при x → 0 равен ∞, то есть y → ∞ при x → 0.

Следовательно,

$\underset{x\to 0}{\lim }{\left(1-2x\right)}^{\frac{1}{5x}}=\underset{x\to 0}{\lim }{\left(1-2x\right)}^{-\frac{1}{2x}·(-\frac{2}{5})}=\underset{y\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{y}\right)}^{-\frac{2}{5}y}=e^{-\frac{2}{5}}.$

Использован второй замечательный предел $\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e.$

г) Представим выражение под знаком предела в виде

$\frac{\sin 4x}{3^x-1}=\frac{\sin 4x·4x}{4x(3^x-1)}.$

Далее находим:

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 4x}{4x}=1,\frac{4x}{3^x-1}=\frac{4x}{e^{x\ln 3}-1},\underset{x\to 0}{\lim }\frac{4x}{e^{x\ln 3}-1}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{4x·x\ln 3}{(e^{x\ln 3}-1)x\ln 3}=\frac{4}{\ln 3}.$

Использованы первый замечательный предел $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$ и следствие из второго замечательного предела $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1.$

НАВЕРХ

Задача № 3

Найти производные функций:

Решение

а) Функция представляет собой частное двух функций. Ее производная по правилу дифференцирования частного равна:

$y^{\text{'}}={\left(\frac{x^2{\left(1-x\right)}^3}{1+x}\right)}^{\text{'}}=\frac{{\left(x^2{\left(1-x\right)}^3\right)}^{\text{'}}\left(1+x\right)-x^2{\left(1-x\right)}^3{\left(1+x\right)}^{\text{'}}}{{\left(1+x\right)}^2}.$

Выражение x²(1 - x)³ есть произведение двух функций: x² и (1 - x)³. Применяя правило дифференцирования произведения, имеем:

(x² · (1 - x)³)^' = (x²)^' · (1 - x)³ + x² · ((1 - x)³)^'.

Производная (1 - x²)^' = 2 · x. Функция (1 - x)³ есть сложная функция, поэтому ее производная равна:

((1 - x)³)^' = 3 · (1 - x)² · (1 - x)^' = 3 · (1 - x)² · ((1)^'-(x)^') = 3 · (1 - x)² · (0 - 1) = -3 · (1 - x)².

Производную функции (1 - x) нашли, используя формулы дифференцирования суммы двух функций. Аналогично, (1 + x)^' = 0 + 1 = 1.

Собирая все результаты, получим:

$y^{\text{'}}=2x\frac{{\left(1-x\right)}^3}{1+x}-3x^2\frac{{\left(1-x\right)}^2}{1+x}-x^2\frac{{\left(1-x\right)}^3}{{\left(1+x\right)}^2}.$

б) Последовательно дифференцируем сложную функцию, взяв за аргумент y = sin(cos²(tg³x)) и применяя последовательно правила дифференцирования сложной функции и производную синуса, косинуса и тангенса, получим:

$y^{\text{'}}=\frac{\cos \left({\cos }^2\left({\mathrm{tg}}^3\left(x\right)\right)\right)·2\cos \left({\mathrm{tg}}^3\left(x\right)\right)·\left(-\sin \left({\mathrm{tg}}^3\left(x\right)\right)\right)·3{\mathrm{tg}}^{2}x}{{\cos }^{2}x}=$

$=-6·\frac{\cos \left({\cos }^2\left({\mathrm{tg}}^{3}x\right)\right)·\cos \left({\mathrm{tg}}^{3}x\right)·\sin \left({\mathrm{tg}}^{3}x\right)·{\mathrm{tg}}^{2}x}{{\cos }^{2}x}.$

в) Наша функция есть сложная логарифмическая, в которой аргументом является выражение $u=\frac{5+3\cos x+4\sin x}{3+5\cos x}.$ Применив формулу производной логарифмической функции, получим:

$y^{\text{'}}={\left(\ln \frac{5+3\cos x+4\sin x}{3+5\cos x}\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{\frac{5+3\cos x+4\sin x}{3+5\cos x}}{\left(\frac{5+3\cos x+4\sin x}{3+5\cos x}\right)}^{\text{'}}.$

Далее нам нужно найти производную частного двух функций. По формуле производной частного имеем:

${\left(\frac{5+3\cos x+4\sin x}{3+5\cos x}\right)}^{\text{'}}=\frac{{\left(5+3\cos x+4\sin x\right)}^{\text{'}}\left(3+5\cos x\right)-\left(5+3\cos x+4\sin x\right){\left(3+5\cos x\right)}^{\text{'}}}{{\left(3+5\cos x\right)}^2}=$

$=\frac{\left(3\sin x-4\cos x\right)\left(3+5\cos x\right)-\left(5+3\cos x+4\sin x\right)\left(-5\sin x\right)}{{\left(3+5\cos x\right)}^2}=$

$=\frac{34\sin x-12\cos x+30\sin x\cos x-20{\cos }^{2}x+20{\sin }^{2}x}{{\left(3+5\cos x\right)}^2}.$

Окончательно получим:

$y^{\text{'}}=\frac{34\sin x-12\cos x+30\sin x\cos x-20{\cos }^{2}x+20{\sin }^{2}x}{{\left(3+5\cos x\right)}^2}·\frac{1}{\frac{5+3\cos x+4\sin x}{3+5\cos x}}=$

$=\frac{34\sin x-12\cos x+30\sin x\cos x-20{\sin }^{2}x+20{\cos }^{2}x}{\left(3+5\cos x\right)\left(5+3\cos x+4\sin x\right)}.$

г) Вычисляем по формуле производной сложной функции, приняв за аргумент выражение $u=\frac{5-2x}{2\sqrt{5x-x^2}},$ получим:

$y^{\text{'}}={\left(\mathrm{arcctg}\frac{5-2x}{2\sqrt{5x-x^2}}\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{1+{\left(\frac{5-2x}{2\sqrt{5x-x^2}}\right)}^2}{\left(\frac{5-2x}{2\sqrt{5x-x^2}}\right)}^{\text{'}}.$

Воспользовавшись формулой производной для частного двух функций и делая необходимые преобразования, получим:

$y^{\text{'}}=\frac{1}{1+{\left(\frac{5-2x}{2\sqrt{5x-x^2}}\right)}^2}·\frac{{\left(5-2x\right)}^{\text{'}}2\sqrt{5x-x^2}-\left(5-2x\right){\left(2\sqrt{5x-x^2}\right)}^{\text{'}}}{4\left(5x-x^2\right)}=$

$=\frac{1}{1+{\left(\frac{5-2x}{2\sqrt{5x-x^2}}\right)}^2}·\frac{-4\sqrt{5x-x^2}-\left(5-2x\right)\frac{5-2x}{\sqrt{5x-x^2}}}{4\left(5x-x^2\right)}=\frac{1}{\sqrt{5x-x^2}}.$

НАВЕРХ

Задача № 4

Найти неопределенные интегралы:

Решение

а) Представим подынтегральную функцию в виде алгебраической суммы двух слагаемых. Для этого разделим почленно числитель на знаменатель:

$\int \frac{{\left(1+x\right)}^2}{x^2+1}\mathrm{dx}=\int \frac{x^2+2x+1}{x^2+1}=\int 1\mathrm{dx}+\int \frac{2x}{x^2+1}\mathrm{dx}=x+\ln (x^2+1)+C.$

Неопределенный интеграл алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов этих функций.

б) При нахождении этого интеграла воспользуемся методом подстановки. Введем новую переменную t = 1 + 2 cosx, dt = -2 sinx dx.

Тогда:

$\int \frac{\sin x}{\sqrt[5]{1+2\cos x}}\mathrm{dx}=-\frac{1}{2}\int \frac{d(1+\cos 2x)}{\sqrt[5]{1+2\cos x}}=-\frac{1}{2}{t}^{\frac{1}{5}}\mathrm{dt}=-\frac{1}{2}\frac{5}{4}{t}^{\frac{4}{5}}+C=-\frac{5}{8}{\left(1+2\cos x\right)}^{\frac{4}{5}}+C.$

в) $\int {\mathrm{tg}}^{3}x\mathrm{dx}$ будем искать по табличной формуле $\int {\mathrm{tg}}^n\mathrm{xdx}=\frac{{\mathrm{tg}}^{n-1}x}{n-1}-\int {\mathrm{tg}}^{n-2}x\mathrm{dx}.$

Поэтому

$\int {\mathrm{tg}}^{3}x\mathrm{dx}=\frac{{\mathrm{tg}}^{2}x}{2}-\int \mathrm{tgxdx}=\frac{{\mathrm{tg}}^{2}x}{2}+\ln \cos x.$

г) Для нахождения этого интеграла воспользуемся формулой интегрирования по частям $\int f\mathrm{dg}=f·g-\int g\mathrm{df}.$ Положим f = x², dg = sin2xdx, df = 2xdx, $g=-\frac{1}{2}\cos 2x.$ Получаем:

$\int x^2\sin 2x\mathrm{dx}=-\frac{x^2}{2}\cos 2x-\int -\frac{1}{2}\cos 2x·2x\mathrm{dx}=-\frac{x^2}{2}+\int x·\cos 2x\mathrm{dx}=$

$=-\frac{x^2}{2}\cos 2x+\frac{x}{2}\sin 2x+\frac{1}{4}\cos 2x.$

НАВЕРХ

Задача № 5

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = ax² + bx и y = cx² + dx.

Решение:

Чтобы наглядно представить фигуру, площадь которой надо найти, начертим графики функций y = x² - x и y = -2x² + 5x.

Рисунок 1

Для построения параболы y = x² - x определим координаты ее вершины и точек пересечения с осями координат. Разложив уравнение y = x² - x = (x - 1) · x, получим координаты вершины параболы A(0,5; -0,25). Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при x², равный 1, положителен. Точки пересечения параболы с осью абсцисс найдем, решив квадратное уравнение x² - x = 0. Корни этого уравнения x₁ = 0; x₂ = 1. Получили точки O(0; 0); A₁(1; 0). Точка пересечения с осью ординат находится при x = 0. Эта точка совпадает с точкой A. Для построения второй параболы y = -2x² + 5x необходимо провести аналогичные действия. Получим вершину B(1,25; 3,125) и точки O(0; 0); B₁ (2,5; 0). Ветви этой параболы направлены вниз, так как коэффициент при x² отрицателен. На рисунке 1 построены обе параболы. Ограниченная параболами часть плоскости является фигурой, площадь которой надо найти. Для определения абсцисс точек пересечения парабол решим уравнение x² - x = -2x² + 5x или 3x² - 6x = 0, откуда x₁ = 0; x₂ = 2.

Площадь фигуры вычисляем по формуле

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}[f\left(x\right)-g\left(x\right)]\mathrm{dx}$

где f(x) ≥ g(x) для всех x ∈ [a; b].

В нашем случае a = x₁ = 0; b = x₂ = 2. На отрезке [0; 1] имеем -2x² + 5x ≥ x² - x. Поэтому

f(x) = -2x² + 5x и g(x) = x² - x.

Следовательно,

$S=\underset{0}{\overset{2}{\int }}[\left(-2x^2+5x\right)-(x^2-x)]\mathrm{dx}=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(-3x^2+6x\right)\mathrm{dx}.$

Для вычисления определенного интеграла применяется формула Ньютона-Лейбница:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\mathrm{dx}=F\left(x\right){\mid }_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right),$

где F(x) - первообразная подынтегральной функции f(x).

Окончательно

$S=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(-3x^2+6x\right)\mathrm{dx}=(-x^3+3x^2){\mid }_0^2=-2^3+3·2^2-0=4.$

Программа MalMath - пошаговый решатель представляет собой полноценный инженерный калькулятор. Предназначена для работы на устройствах, управляемых операционной системой Android. Помимо традиционных арифметических, алгебраических  и тригонометрических вычислений, MalMath решает уравнения, вычисляет пределы функций, находит производные, вычисляет интегралы и осуществляет массу других математических операций.

MalMath можно назвать аналогом MathCAD для Android. Знакомые с работой в MathCAD легко и непринужденно освоят MalMath. В программу заложена масса полезных свойств, облегчающих работу пользователя. Программа распознает ошибки во вводимых данных, выдаст понятные предупреждения о них.

В процессе решения задач MalMath подробно описывает каждый свой шаг. Программа укажет ресурсы сети, объясняющие методы конкретных решений, четко обоснует необходимость применения метода, гиперссылки приведут к справочной литературе.

---

Пользуйся браузерами Yandex, Firefox, Opera, Edge - они правильно отражают формулы, встречающиеся на страницах, как в десктопном, так и в мобильном вариантах.

Отключи на минуту блокираторы рекламы и нажми на пару баннеров на странице. Тебе ничего не будет стоить, а сайту поможешь материально.

---