где купить люстру вентилятор Лопасти изделия сконструированы из склеенных влагостойких пластин МДФ. Такие вентиляторы оборудуются переключателем реверса мотора. Благодаря этому, вы сможете самостоятельно выбирать подходящий режим работы техники.

Задача

Найти решение дифференциального уравнения ay'' + by' + cy = ekx, удовлетворяющее начальным условиям: y(0) = p, y'(0) = q.

a b c k p q
6 1 -1 2 3 2

Решение

Общее решение данного неоднородного линейного уравнения есть сумма его частного решения и общего решения соответствующего ему линейного однородного дифференциального уравнения 6y'' + y' - y = 0.

Ищем общее решение однородного уравнения. Это решение записывается в виде

y0 = C1ek1x + C2ek2x.

где C1 и C2 - произвольные постоянные, а k1 и k2 - корни характеристического уравнения ak2 + bk + c = 0 данного уравнения ay'' + by' + cy = 0. В нашем случае a = 6, b = 1, c = -1, характеристическое уравнение принимает вид: 6k2 + k - 1 = 0, его корни k1 = -1/2, k2 = 1/3, значит, общее решение однородного уравнения имеет вид: y0 = C1e-x/2 + C2ex/3.

Найдем частное решение неоднородного уравнения. Поскольку правая часть данного уравнения содержит в показателе степени коэффициент (2), не являющийся корнем характеристического уравнения, частное решение следует искать в виде: y1 = de2x. Найдем неизвестный коэффициент d. Так как y 1 ' = 2 d e 2 x , y 2 ' ' = 4 d e 2 x , подставив значения  в данное уравнение, получим равенство

24de2x + 2de2x - de2x = e2x,

откуда 25de2x = e2x, т.е. d = 1 25 .

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид

y = y 0 + y 1 = C 1 e x / 2 + C 2 e x / 3 + e 2 x 25 .

Найдем то решение, которое удовлетворяет данным начальным условиям. Так как y ' = 1 2 C 1 e x / 2 + 1 3 C 2 e x / 3 + 2 e 2 x 25 , y(0) = C1 + C2 + 1/25, то решая систему уравнений:

{ 1 2 C 1 + 1 3 C 2 + 2 25 = 2 C 1 + C 2 + 1 25 = 3 ,

находим C1 = -28/25; C2 = 102/25.

Следовательно, y = 28 25 C 1 e x / 2 + 102 25 C 2 e x / 3 + e 2 x 25 - искомое решение.



Интересное в мире: https://lumberwood.ru

Пользуйся браузерами Yandex, Firefox, Opera, Edge - они правильно отражают формулы, встречающиеся на страницах, как в десктопном, так и в мобильном вариантах.

Отключи на минуту блокираторы рекламы и нажми на пару баннеров на странице. Тебе ничего не будет стоить, а сайту поможешь материально.


Индекс цитирования Яндекс.Метрика