Астрономия Однако компьютерные алгоритмы позволили с ней справиться. Астрономия. # астрофизика.

Задача 9

При переходе электрона в атоме водорода из возбужденного состояния в основное радиус боровской орбиты электрона уменьшился в 25 раз. Определить длину волны излученного фотона.

Решение

При переходе из состояния \(E_1\) в состояние E_0 атом водорода излучает фотон света с энергией h\nu, равной разности энергий исходного и конечного состояний:

h\nu=E_1-E_0.

Длина его волны равна

\lambda=\frac{c}{\nu}=\frac{ch}{E_1-E_0}.

Полная энергия электрона

E=-\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r}.

E_1-E_0=-\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0\cdot 25}+\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r}=\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r}\cdot\frac{24}{25}.

c - скорость света, h - постоянная Планка, \varepsilon_0 - электрическая постоянная, r - боровский радиус, e - элементарный заряд.

\lambda=\frac{ch}{E_1-E_0}=\frac{25ch\cdot 8\pi\varepsilon_0 r}{24e^2}\approx

\approx\frac{25\cdot 3\cdot 10^8 \cdot 6,626 \cdot 10^{-34} \cdot 8\pi \cdot 8,854 \cdot 10^{-12} \cdot 5,292 \cdot 10^{-11}}{24\cdot (1,602\cdot 10^{-19})^2}\approx 9,501\cdot 10^{-8}\approx95\ нм.

Задача 19

Найти длину волны де Бройля электрона, прошедшего ускоряющую разность в 22,5\ В.

Решение

Длина волны де Бройля

\lambda=h/p.

Импульс выразим из формулы для кинетической энергии:

E_k=\frac{m_eV^2}{2}=\frac{m_e^2V^2}{2m_e}=\frac{p^2}{2m_e}.

Откуда

p=\sqrt{2E_km_e}.

m_e - масса электрона. С другой стороны:

E_k=eU.

Тогда

\lambda=\frac{h}{\sqrt{2eUm_e}}=\frac{6,626\cdot10^{-34}}{\sqrt{2\cdot1,602^{-19}\cdot22,5\cdot9,109\cdot10^{-31}}}=2,586\cdot10^{-10}\ м.

Задача 29

Оценить неопределенность координаты и импульса для электрона в электронно-лучевой трубке, если длина трубки l=10\ см, радиус следа на экране порядка r=0,01\ мм. Электроны проходят ускоряющую разность потенциалов в 1000\ В.

Решение

Угол отклонения электрона:

\varphi\approx\frac{r}{l}=\frac{0,01}{100}=10^{-4}.

Неопределенность импульса:

\Delta p_x\approx p\cdot\varphi=\sqrt{2eUm_e}\cdot\varphi=

=\sqrt{2\cdot1,602\cdot10^{-19}\cdot1000\cdot9,109\cdot10^{-31}}\cdot10^{-4}=1,708\cdot10^{-27}\ кг\cdot\frac{м}{с}.

Неопределенность координаты:

\Delta x=\frac{h}{2\pi\Delta p_x}=\frac{6,626\cdot10^{-34}}{2\pi\cdot1,708\cdot10^{-27}}=6,173\cdot10^{-8}\ мм.

Задача 39

Электрон находится в бесконечно глубокой потенциальной яме, ширина которой l=10^{-9}\ м. Найти минимальное значение энергии электрона (эВ) и разность между вторым и третьим уровнями.

Решение

Возможные значения энергии электрона:

E_n=\frac{\pi^2\hbar^2}{2ml^2}n^2.

\hbar - приведенная постоянная Планка.

E_1=\frac{\pi^2\cdot(1,055\cdot10^{-34})^2}{2\cdot9,109\cdot10^{-31}\cdot(10^{-9})^2}\cdot 1^2=6,030\cdot10^{-20}\ Дж=0,376\ эВ.

E_2=\frac{\pi^2\cdot(1,055\cdot10^{-34})^2}{2\cdot9,109\cdot10^{-31}\cdot(10^{-9})^2}\cdot 2^2=2,412\cdot10^{-19}\ Дж=1,506\ эВ.

E_3=\frac{\pi^2\cdot(1,055\cdot10^{-34})^2}{2\cdot9,109\cdot10^{-31}\cdot(10^{-9})^2}\cdot 3^2=5,427\cdot10^{-19}\ Дж=3,388\ эВ.

\Delta E=E_3-E_2=3,388-1,506=1,882\ эВ.

Задача 49

Вычислить энергию ядерной реакции {}_1^2 H+{}_1^2 H={}_1^1 H+{}_1^3 H.

Решение

Энергия ядерной реакции:

Q=c^2\cdot\left(\sum m_1-\sum m_2\right).

m_{{}_1^2H}=2,014\ а.е.м.

m_{{}_1^1H}=1,008\ а.е.м.

m_{{}_1^3H}=3,016\ а.е.м.

\Delta m=\sum m_1-\sum m_2=4,028-4,024=0,004\ а.е.м.=6,644\cdot 10^{-30}\ кг.

Q=\Delta mc^2=6,644\cdot 10^{-30}\cdot (3\cdot 10^8)^2=5,980\cdot 10^{-13}\ Дж=3732584,27\approx 3,7\ МэВ.

Задача 59

Фотон с энергией W=1,2\ МэВ был рассеян в результате эффекта Комптона на угол 90°. Найти энергию, импульс электрона отдачи и длину волны рассеянного фотона.

Решение

Эффект Комптона:

\lambda'-\lambda=\frac{h}{m_ec}(1-\cos\theta).

\lambda' - длина волны рассеянного фотона, \lambda - длина волны фотона до рассеяния.

Длина волны фотона до рассеяния:

\lambda=\frac{hc}{W}.

Начальная энергия фотона:

W=1,2\ МэВ=1,2\cdot 10^6\cdot 1,602\cdot 10^{-19}=1,922\cdot 10^{-13}\ Дж.

Длина волны рассеянного фотона:

\lambda'=\frac{h}{m_ec}(1-\cos\theta)+\frac{hc}{W}=

=\frac{6,626\cdot 10^{-34}}{9,109\cdot 10^{-31}\cdot 3\cdot 10^8}(1-\cos90°)+\frac{6,626\cdot 10^{-34}\cdot 3\cdot 10^8}{1,922\cdot 10^{-13}}=3,459\cdot 10^{-12}\ м.

Энергия электрона отдачи:

E_e=W-\varepsilon'=W-\frac{hc}{\lambda'}=1,922\cdot 10^{-13}-\frac{6,626\cdot 10^{-34}\cdot 3\cdot 10^8}{3,459\cdot 10^{-12}}=

=1,348\cdot 10^{-13}\ Дж=8,412\cdot 10^5\ эВ.

Импульс электрона отдачи:

P_e=P-P'=h\cdot\left(\frac{1}{\lambda}-\frac{1}{\lambda'}\right)=

=6,626\cdot 10^{-34}\cdot\left(\frac{1}{1,034\cdot 10^{-12}}-\frac{1}{3,459\cdot 10^{-12}}\right)=4,492\cdot 10^{-22}\ кг\cdot\frac{м}{с}.

чистка лица

Пользователь, раз уж ты добрался до этой строки, ты нашёл тут что-то интересное или полезное для себя. Надеюсь, ты просматривал сайт в браузере Firefox, который один правильно отражает формулы, встречающиеся на страницах. Если тебе понравился контент, помоги сайту материально. Отключи, пожалуйста, блокираторы рекламы и нажми на пару баннеров вверху страницы. Это тебе ничего не будет стоить, увидишь ты только то, что уже искал или ищешь, а сайту ты поможешь оставаться на плаву.