В начало

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Задача 3

Найти производную функции:

Решение:

а) Функция представляет собой частное двух функций. Ее производная по правилу дифференцирования частного (см. [1], стр. 183, формула 7.15) равна:

Выражение x⁷(1 - x)⁹ есть произведение двух функций x⁷ и (1 - x)⁹. Применяя правило дифференцирования произведения (см. [1], стр. 183, формула 7.12), имеем:

(x⁷(1 - x)⁹)' = (x⁷)'(1 - x)⁹ + x⁷((1 - x)⁹)'.Производная (x⁷)' = 7x⁶. Функция (1 - x)⁹ есть сложная функция, поэтому ее производная (см. [1], стр. 183, формула 7.16) равна:

((1 - x)⁹)' = 9(1 - x)⁸(1 - x)' = 9(1 - x)⁸((1)' - (x))' = 9(1 - x)⁸(0 - 1) = -9(1 - x)⁸Производную функции (1 - x) нашли, используя формулы дифференцирования суммы двух функций. Аналогично, (1 + x)' = 0 + 1 = 1..

Собирая все результаты, получим:

б) Преобразуем нашу функцию:

Это сложная функция. Взяв за аргумент u = 1 + tg³5x и применяя последовательно правила дифференцирования сложной функции и производную тангенса, получим:

Итак, окончательно имеем:

Окончательно получим:

в) Наша функция есть сложная логарифмическая, в которой аргументом является выражение . Применив формулу производной логарифмической функции (см. [1], стр. 188), получим:

Далее нам нужно найти производную частного двух функций. По формуле производной частного имеем:

Окончательно получим:

г) Вычисляем по формуле производной сложной функции, приняв за аргумент выражение , получим:

Воспользовавшись формулой производной для частного двух функций и делая необходимые преобразования, получим:

Вопросы для самопроверки:

1. Что называется производной функции? Найдите производную функции y = x³, пользуясь только определением производной.
2. Что называется касательной к кривой в данной точке? Каков геометрический смысл производной? Как составить уравнение касательной?
3. Каков механический смысл производной?
4. Каков экономический смысл производной?
5. Будет ли функция непрерывна в точке, если она в ней дифференцируема?
6. Перечислите правила дифференцирования и формулы дифференцирования основных элементарных функций.
7. Производная сложной функции.
8. Что называется дифференциалом функции? Его основные свойства.
9. Каков геометрический смысл дифференциала функции в точке при заданном приращении аргумента?
10. Какие свойства дифференциала функции Вы знаете?

Задачи 41 - 60

Найти производные функций:

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

Задача 4

Найти неопределенные интегралы:

Решение:

а) Представим подынтегральную функцию в виде алгебраической суммы трех слагаемых. Для этого разделим почленно числитель на знаменатель:

Неопределенный интеграл алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов этих функций (см. [1], стр. 253). Пользуясь этим свойством неопределенного интеграла и соответствующей формулой (см. [1], стр. 255, формула 10.7), получим:

б) При нахождении этого интеграла воспользуемся методом подстановки. Введем новую переменную t = x² - 1.

Тогда:

dt = d(x² - 1) = (x² - 1)' = (2x - 0)dx = 2xdx.

Отсюда

По формуле 10.8 (см. [1], стр. 255) имеем:

в) Для вычисления этого интеграла преобразуем подынтегральную функцию следующим образом:

sin³xcos³x = sin³xcos²xcosx = sin³x(1 - sin²x)cosx.

Поэтому

∫sin³xcos³x = ∫sin³x(1 - sin²x)cosxdx.

Сделаем замену t = sinx. Тогда dt = dsinx = cosxdx. Поэтому

г) Для нахождения этого интеграла воспользуемся формулой интегрирования по частям:

∫udv = uv - ∫vdu

(см. [1], стр. 263, формула 10.21).

Положим u = lnx; dv = (2x + 1)dx, тогда (постоянную С здесь можно опустить).

Подставив значения u; du; v; dv в формулу интегрирования по частям, получаем:

Вопросы для самопроверки:

1. Какая функция называется первообразной данной функции?
2. Что называется неопределенным интегралом от данной функции?
3. Запишите таблицу простейших интегралов.
4. Как производится замена переменной в неопределенном интеграле?
5. Как производится интегрирование по частям в неопределенном интеграле?
6. Назовите основные свойства неопределенного интеграла.

Задачи 61 - 80

Найти неопределенный интеграл:

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

71.

72.

73.

74.

75.

76.

77.

78.

79.

80.

Задача 5

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x² - 2x и y = -2x² + x.

Решение:Чтобы наглядно представить фигуру, площадь которой надо найти, начертим графики функций y = x² - 2x и y = -2x² + x.

Рис. 1

Для построения параболы y = x² - 2x определим координаты ее вершины и точек пересечения с осями координат. Выделив полный квадрат y = x² - 2x = (x - 1)² - 1, получим координаты вершины параболы A(1; -1). Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при x², равный 1, положителен. Точки пересечения параболы с осью абсцисс найдем, решив квадратное уравнение x² - 2x = 0. Корни этого уравнения x₁ = 0; x₂ = 2. Получили точки O(0; 0); A₁(2; 0). Точка пересечения с осью ординат находится при x = 0. Эта точка совпадает с точкой А. Для построения второй параболы y = -2x² + x необходимо провести аналогичные действия. Получим вершину B(1/4; 1/8) и точки O(0; 0); B₁(1/2; 0). Ветви этой параболы направлены вниз, так как коэффициент при x² отрицателен. На рисунке 1 построены обе параболы. Заштрихованная часть плоскости является фигурой, площадь которой надо найти. Для определения абсцисс точек пересечения парабол решим уравнение x² - 2x = -2x² + x или 3x² - 3x = 0, откуда x₁ = 0; x₂ = 1.

Площадь фигуры вычисляем по формуле

где f(x) ≥ g(x) для всех

(см. [1], стр. 303, формула 11.21).В нашем случае a = x₁ = 0; b = x₂ = 1. На отрезке [0; 1] имеем -2x² + x ≥ x² - 2x. Поэтому

f(x) = -2x² + x и g(x) = x² - 2 x.Следовательно,

Для вычисления определенного интеграла применяется формула Ньютона-Лейбница:

где F(x) - первообразная подынтегральной функции f(x).

Окончательно

Вопросы для самопроверки:

1. Что называется определенным интегралом от данной функции? Каков его геометрический смысл?
2. Как связаны между собой понятия определенного и неопределенного интеграла?
3. Сформулируйте теорему о производной определенного интеграла с переменным верхним пределом.
4. Перечислите основные свойства определенного интеграла.
5. Дайте определение несобственных интегралов с бесконечным пределом интегрирования.

Задачи 81 - 100

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = ax² + bx и y = cx² + dx.

Задача 6

Найдите решение дифференциального уравнения y'' + 4y' + 3y = e^-2x, удовлетворяющее начальным условиям y(0), y'(0) = 0.

Решение:

В соответствии с § 12.8 (см. [1]) общее решение данного неоднородного линейного уравнения есть сумма его частного решения и общего решения соответствующего ему линейного однородного дифференциального уравнения y'' + 4y' + 3y = 0.

Ищем общее решение однородного уравнения. В соответствии с теоремой 2.1 (см. [1], стр. 344) это решение записывается в виде

где C₁ и C₂ - произвольные постоянные, а k₁ и k₂ - корни характеристического уравнения ak² + bk + c = 0 данного уравнения ay'' + by' + cy = 0. В нашем случае a = 1, b = 4, c = 3, характеристическое уравнение принимает вид: k² + 4k + 3 = 0, его корни k₁ = -3, k₂ = -1, значит, общее решение однородного уравнения имеет вид: y₀ = C₁e^-3x + C₂e^-x.

Найдем частное решение неоднородного уравнения. Согласно теореме на стр. 342 (см. [1]), поскольку правая часть данного уравнения содержит в показателе степени коэффициент (-2), не являющийся корнем характеристического уравнения, частное решение следует искать в виде: y₁ = de^-2x. Найдем неизвестный коэффициент d. Так как , подставив значения в данное уравнение, получим равенство

4de^-2x - 8de^-2x + 3de^-2x = e^-2xоткуда -de^-2x = e^-2x, т.е. d = -1.

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид

y = y₀ + y₁ = C₁e^-3x + C₂e^-x - e^-2x.

Найдем то решение, которое удовлетворяет данным начальным условиям. Так как y' = -3C₁e^-3x - C₂e^-x +2e^-2x, y(0) = C₁ + C₂ -1, y'(0) = -3C₁ - C₂ + 2, то решая систему уравнений: C₁ + C₂ - 1 = 2; -3C₁ - C₂ = 0, находим C₁ = -0,5; C₂ = 3,5.

Следовательно, y = -0,5e^-3x + 3,5e^-x - e^-2x - искомое решение.

Вопросы для самопроверки:

1. Дайте определение дифференциального уравнения и основных понятий, связанных с ними (порядок решения, общее решение, частное решение и интегральная кривая).
2. Как можно геометрически истолковать общее и частное решения?
3. Изложите методы решения типов дифференциальных уравнений первого порядка (с разделяющимися переменными, линейных).
4. Изложите метод решения неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Задачи 101 - 120

Найдите решение дифференциального уравнения ay'' + by' + cy = e^kx, удовлетворяющее начальным условиям: y(0) = p, y'(0) = q.