В начало

Полезные ссылки на Интернет-ресурсы

Тема 5. Системы линейных одновременных уравнений

Экономические показатели, часто оказываются взаимозависимы. Структура связей между такими показателями (переменными) может быть описана с помощью системы одновременных (структурных) уравнений. В этих уравнениях присутствуют переменные следующих типов:

• эндогенные, зависимые переменные у, определяемые внутри системы;
• экзогенные, независимые переменные x, значения которых задаются извне, они являются управляемыми, планируемыми;
• предопределенные, включающие в себя как экзогенные переменные за текущий период времени, так и лаговые переменные (т.е. экзогенные и эндогенные переменные за предыдущие периоды времени).

Выделяют следующие виды эконометрических систем.

Системы независимых уравнений, в которых каждая зависимая переменная y_i(i = 1, ..., n) представлена как функция одного и того же набора независимых переменных x_j(j= 1, ..., m):

(5.1)

Каждое уравнение этой системы можно рассматривать самостоятельно как уравнение регрессии. В него может быть введен свободный член, и коэффициенты регрессии могут быть найдены методом наименьших квадратов (МНК).

Системы рекурсивных уравнений, в которых зависимые переменные y_i(i = 1, ..., n) представлены как функции независимых переменных x_j(j= 1, ..., m) и определенных ранее зависимых переменных

(5.2)

Параметры каждого уравнения системы определяются отдельно, в последовательном порядке, начиная с первого уравнения, методом наименьших квадратов.

Системы взаимозависимых уравнений, в которых каждая зависимая переменная y_i(i = 2, ..., n) представлена как функция остальных зависимых переменных y_k(k ≠ i) и независимых (предопределенных) переменных x_j(j= 1, ..., m):

(5.3)

Эта система наиболее распространенная, она получила название системы совместных, одновременных уравнений. Ее также называют структурной формой модели (СФМ).

Отдельные коэффициенты при переменных СФМ могут быть равны нулю, что означает отсутствие в уравнении этих переменных. Например, модель динамики цены и заработной платы может быть описана СФМ вида

(5.4)

где y₁ — темп изменения заработной платы;

y₂ — темп изменения цен;

x₁ — процент безработных;

x₂ — темп изменения постоянного капитала;

x₃ — темп изменения цен на импорт сырья.

Данная система из двух уравнений содержит две зависимые, эндогенные (y₁, y₂) и три независимые, экзогенные (x₁, x₂, x₃) переменные. В первом уравнении отсутствуют переменные x₂ и x₃. Это значит, что коэффициенты a₁₂ = 0 и a₁₃ = 0.

В СФМ для нахождения параметров модели b_ij и а_ij (называемых также структурными коэффициентами модели), простой МНК неприменим.

Обычно для определения структурных коэффициентов модели СФМ преобразуется в приведенную форму модели (ПФМ):

(5.5)

Параметры приведенной формы модели δ_ij могут быть оценены по методу наименьших квадратов. По этим параметрам затем можно рассчитать структурные коэффициенты модели b_ij и а_ij. Для существования однозначного соответствия между параметрами структурной и приведенной формами необходимо выполнение условия идентификации.

Структурные формы модели могут быть:

• идентифицируемые;
• неидентифицируемые;
• сверхидентифицируемые.

Для того чтобы СФМ была идентифицируема, необходимо, чтобы каждое уравнение системы было идентифицируемо.

В этом случае число параметров СФМ равно числу параметров приведенной формы. Если хотя бы одно уравнение СФМ неидентифицируемо, то вся модель считается неидентифицируемой.

В этом случае число коэффициентов приведенной формы модели меньше, чем число коэффициентов СФМ.

Модель сверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае можно получить два и более значений одного структурного коэффициента на основе коэффициентов приведенной формы модели. В сверхидентифицируемой модели хотя бы одно уравнение сверхидентифицируемо, а остальные уравнения идентифицируемы.

Если обозначить число эндогенных переменных в i-м уравнении СФМ через H, а число предопределенных переменных, которые содержатся в системе, но не входят в данное уравнение, через D, то условие идентифицируемости модели может быть записано в виде следующего счетного правила:

• если D + 1 < Н уравнение неидентифицируемо;
• если D + 1 = Н уравнение идентифицируемо;
• если D + 1 > Н уравнение сверхидентифицируемо.

Счетное правило является необходимым, но не достаточным условием идентификации. Кроме этого правила для идентифицируемости уравнения должно выполняться дополнительное условие.

Отметим в системе эндогенные и экзогенные переменные, отсутствующие в рассматриваемом уравнении, но присутствующие в системе. Из коэффициентов при этих переменных в других уравнениях составим матрицу. При этом если переменная стоит в левой части уравнения, то коэффициент надо брать с обратным знаком. Если определитель полученной матрицы не равен нулю, а ранг не меньше, чем количество эндогенных переменных в системе без одного, то достаточное условие идентификации для данного уравнения выполнено.

Поясним это на примере следующей структурной модели:

(5.6)

Проверим каждое уравнение системы (5.6) на выполнение необходимого и достаточного условия идентификации.

В первом уравнении три эндогенные переменные: y₁, y₂, и y₃ (H = 3). В нем отсутствуют экзогенные переменные x₃ и x₄ (D = 2). Необходимое условие идентификации D + 1 = Н выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных x₃ и x₄ (табл. 5.1). В первом столбце таблицы показано, что коэффициенты при экзогенных переменных x₃ и x₄ взяты из уравнений 2 и 3 системы. Во втором уравнении эти переменные присутствуют и коэффициенты при них равны a₂₃ и a₂₄ соответственно. В третьем уравнении эти переменные отсутствуют, т.е. коэффициенты при них равны нулю. Так как вторая строка матрицы состоит из нулей, определитель матрицы равен нулю. Значит, достаточное условие не выполнено, и первое уравнение нельзя считать идентифицируемым.

Таблица 5.1

Матрица, составленная из коэффициентов при переменных x₃ и x₄

Во втором уравнении две эндогенные переменные: y₁ и y₂ (Н = 2). В нем отсутствует экзогенная переменная x₁ (D = 1). Необходимое условие идентификации D + 1 = Н выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных y₃ и x₁, которые отсутствуют во втором уравнении (табл. 5.2).

Таблица 5.2

Матрица, составленная из коэффициентов при переменных y₃ и x₁

В третьем уравнении при переменной y₃ коэффициент равен -1, так как эта переменная стоит в левой части уравнения. Действительно, третье уравнение можно записать в виде: 0 = b₃₁y₁ + b₃₂y₂ — 1y₃ + a₃₁x₁ + a₃₂x₂ и тогда равенство b₃₃ = -1 становится очевидным.

В общем случае СФМ может быть представлена в виде матрицы коэффициентов при переменных. При этом третье уравнение может быть задано вектором (b₃₁, b₃₂, -1, a₃₁, a₃₂, 0, 0), а вся система одновременных уравнений (5.6) будет представлена матрицей

(5.7)

В примерах и задачах для контрольных работ мы будем представлять СФМ в виде такой матрицы коэффициентов при переменных модели.

Определитель представленной в табл. 5.2 матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, и второе уравнение идентифицируемо.

В третьем уравнении три эндогенные переменные: y₁, y₂, и y₃ (Н = 3). В нем отсутствуют экзогенные переменные x₃ и x₄ (D = 2). Необходимое условие идентификации D + 1 = Н выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных x₃ и x₄, которые отсутствуют в третьем уравнении (табл. 5.3). Согласно таблице определитель матрицы равен нулю (первая строка состоит из нулей). Значит, достаточное условие не выполнено, и третье уравнение нельзя считать идентифицируемым.

Таблица 5.3

Матрица, составленная из коэффициентов

В эконометрических моделях иногда используются балансовые тождества переменных (например, вида y₃ = y₁ + y₂ + x₁). Коэффициенты при переменных при этом не требуют оценок и уравнение не надо исследовать на идентификацию, но в проверке на идентификацию всей системы эти уравнения участвуют. Присутствующие иногда в моделях свободные и остаточные члены (a₀₁, a₀₂, a₀₃, ..., ε₁, ε₂, ε₃, ...) не влияют на решение вопроса об идентификации.

При оценивании коэффициентов структурной модели используется ряд методов. С этими методами можно ознакомиться в рекомендованной литературе [1, 2]. Рассмотрим косвенный метод наименьших квадратов (КМНК), который применяется в случае точно идентифицируемой структурной модели. Рассмотрим этот метод на примере следующей идентифицируемой модели, содержащей две эндогенные и две экзогенные переменные:

(5.8)

Для построения модели мы располагаем информацией, представленной в табл. 5.4.

Таблица 5.4

Фактические данные для построения модели

Структурную модель преобразуем в приведенную форму модели:

где u₁ и u₂ — случайные ошибки.

Для каждого уравнения приведенной формы при расчете коэффициентов d можно применить МНК.

Для упрощения расчетов можно работать с отклонениями от средних уровней y = y - y_ср и x = x - x_ср (y_ср и x_ср — средние значения). Преобразованные таким образом данные табл. 5.4 сведены в табл. 5.5. Здесь же показаны промежуточные расчеты, необходимые для определения коэффициентов d_ik. Переменные, означающие отклонение от средних значений, изображаются далее жирным шрифтом и курсивом.

Для нахождения коэффициентов d_ik первого приведенного уравнения можно использовать следующую систему нормальных уравнений:

Таблица 5.5

Преобразованные данные для построения приведенной формы модели

n	y1	y2	x1	x2	y1×x1		x1×x2	y1×x2	y2×x1	y2×x2
1	-12,133	-6,784	-4,500	0,667	54,599	20,250	-3,002	-8,093	30,528	-4,525	0,445
2	0,767	5,329	-0,500	5,667	-0,383	0,250	-2,834	4,347	-2,664	30,198	32,115
3	-2,933	-2,308	-0,500	-1,333	1,467	0,250	0,667	3,910	1,154	3,077	1,777
4	6,267	1,969	2,500	-1,333	15,668	6,250	-3,333	-8,354	4,922	-2,625	1,777
5	3,867	-6,541	2,500	-9,333	9,667	6,250	-23,333	-36,091	-16,353	61,048	87,105
6	4,167	8,337	0,500	5,667	2,084	0,250	2,834	23,614	4,168	47,244	32,115
Сумма	0,002	0,001	0,000	0,002	83,102	33,500	-29,001	-20,667	21,755	134,417	155,334

Подставляя рассчитанные в табл. 5.5 значения сумм, получим:

83,102 = 33,5d₁₁ - 29,001d₁₂;

-20,667 = -29,001d₁₁ + 155,334d₁₂.

Решение этих уравнений дает значения d₁₁ = 2,822 и d₁₂ = 0,394. Первое уравнение приведенной формы модели примет вид:

y₁ = 2,822x₁ + 0,394x₂ + u₁.

Для нахождения коэффициентов d_2k второго приведенного уравнения можно использовать следующую систему нормальных уравнений:

Подставляя рассчитанные в табл. 5.5 значения сумм, получим:

21,755 = 33,5d₂₁ - 29,001d₂₂;

134,417 = -29,001d₂₁ + 155,334d₂₂.

Решение этих уравнений дает значения d₂₁ = 1,668 и d₂₂ = 1,177. Второе уравнение приведенной формы модели примет вид:

y₂ = 1,668x₁ + 1,177x₂ + u₂.

Для перехода от приведенной формы к структурной форме модели найдем x₂ из второго уравнения приведенной формы модели:

x₂ = (y₂ – 1,668x₁)/1,177.

Подставим это выражение в первое уравнение приведенной модели, найдем структурное уравнение:

y₁ = 2,822x₁ + 0,394(y₂ - 1,668x₁)/1,177 = 2,822x₁ + 0,335y₂ - 0,558x₁ = 0,335y₂ + 2,264x₁.

Таким образом, b₁₂ = 0,335; a₁₁ = 2,264.

Найдем x₁ из первого уравнения приведенной формы модели:

x₁ = (y₁ - 0,394x₂)/2,822.

Подставим это выражение во второе уравнение приведенной модели, найдем структурное уравнение:

y₂ = 1,177x₂ + 1,668(y₁ - 0,394x₂)/2,822 = 1,177x₂ + 0,591y₁ - 0,233x₂ = 0,591y₁ + 0,944x₂.

Таким образом, b₂₁ = 0,591; a₂₂ = 0,944.

Свободные члены структурной формы находим из уравнений:

A₀₁ = y_1,ср – b₁₂y_1,ср – a₁₁x_1,ср = 45,133 - 0,335 × 43,93 - 2,264 × 7,5 = 13,436;

A₀₂ = y_2,ср - b₂₁y_1,ср - a₂₂x_2,ср = 43,93 - 0,591 × 45,133 - 0,944 × 10,333 = 7,502.

Окончательный вид структурной модели:

y₁ = a₀₁ + b₁₂y₂ + a₁₁x₁ + ε₁ = 13,436 + 0,335y₂ + 2,264x₁ + ε₁;

y₂ = a₀₂ + b₂₁y₁ + a₂₂x₂ + ε₂ = 7,502 + 0,591y₁ + 0,944x₂ + ε₂.

Литература по теме 5

1. Елисеева И. И. Эконометрика: Учебник. — М.: Финансы и статистика, 2001.
2. Елисеева И. И. Практикум по эконометрике: Учеб. пособие. — М.: Финансы и статистика, 2001.