В начало

Литература

Тема 3. Балансовые модели

Балансовый метод планирования, матричные модели. Экономико-математическая модель межотраслевого стоимостного баланса, определение объемов валовой и конечной продукции. Матрица коэффициентов прямых материальных затрат, ее продуктивность. Матрица коэффициентов полных материальных затрат, способы ее определения. Межпродуктовый баланс. Динамическая модель межотраслевого баланса. Примеры использования матричных моделей, сведения о компьютерной реализации.

Матричные (балансовые) модели представляют собой математическое выражение балансового метода планирования (метод взаимного сопоставления затрат и результатов).

Матричные модели объединяют общий принцип построения, единство системы расчетов и аналогичность ряда экономических характеристик.

В качестве примера указанных моделей в данной теме рассматриваются статическая и динамическая модели межотраслевого стоимостного баланса, межпродуктовый баланс для обеспечения взаимоувязки планов производства группы предприятий или обособленных подразделений (цехов, иных структур) одной организации.

Основное внимание при этом уделяется структуре и экономической интерпретации элементов статических моделей.

Межотраслевой баланс отражает производство и распределение валового национального продукта по отраслям, межотраслевые потоки, использование материальных и трудовых ресурсов, создание и распределение национального дохода [1].

ЭММ межотраслевого баланса представляет собой систему уравнений, отражающих функциональную взаимосвязь включенных в его систему элементов:

где Х = (Х₁, Х₂, ..., Х_n) — вектор валовой продукции,

Y = (Y₁, Y₂, ..., Y_n) — вектор конечной продукции (конечное потребление и накопление),

Х_ij — производственные (материальные) затраты j-й отрасли продукции i-и отрасли в течение планового периода, допустим, года (например, если отрасль 1 — угольная, отрасль 2 - черная металлургия, то X₁₂ — годовые затраты угля на производство черных металлов).

С учетом обозначений

a_ij = X_ij / X_j; X_ij = a_ijX_j

система уравнений перепишется в виде

или в более компактном виде:

(запись с использованием знаков суммирования), X = АХ+Y, А = (a_ij)_n*n (запись в матричной форме).

Именно, в этих двух формах записи, как правило, и используется ЭММ межотраслевого баланса, которую называют моделью Леонтьева или моделью «затраты-выпуск».

Элементы a_ij матрицы А называют коэффициентами прямых (материальных) затрат - это затраты i-и отрасли на единицу (рубль) валовой продукции j-й отрасли.

В матричной форме модель Леонтьева можно записать в виде X - АХ = Y или (Е - А)X = Y.

Последнее соотношение можно использовать для анализа и планирования для решения следующих задач:

1) определение объемов конечного продукта отраслей Y₁, Y₂, ..., Y_n по заданным объемам валовой продукции (Е - А)Х = Y;

2) определение объемов валовой продукции отраслей Х₁, Х₂, ..., Х_n по заданным объемам конечной продукции: Х = (E - A)^-1×Y; X = BY, В = (Е - А)^-1.

Кроме того, можно определить величины конечной продукции части отраслей и объемы валовой продукции других отраслей, если задать для первых отраслей величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей задать объемы конечной продукции.

Элементы b_ij обратной матрицы В = (Е-А)^-1 называются коэффициентами полных (материальных) затрат - это затраты i-й отрасли на каждый рубль конечной продукции отрасли j.

Соответственно матрицу В называют матрицей коэффициентов полных затрат, а матрицу А - матрицей коэффициентов прямых затрат.

Неотрицательную матрицу А (А ≥ 0) называют продуктивной, если существует хотя бы один такой положительный вектор X > 0, что (Е - А) X > 0.

Это определение имеет простой экономический смысл: матрица А продуктивна, если существует такой план X > 0, что каждый объект (отрасль, предприятие, цех) может произвести некоторое количество конечной продукции.

Имеет место замечательный факт, что продуктивность матрицы А ≥ 0 является необходимым и достаточным условием существования, единственности и неотрицательности решения системы уравнений Y = (Е - А) X при любом неотрицательном векторе Y ≥ 0.

Укажем некоторые способы определения продуктивности матрицы А (признаки продуктивности): для ее продуктивности необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из перечисленных ниже условий.

1. Матрица (Е — А) неотрицательно обратима, т.е. существует обратная матрица (Е - А)^-1 и все ее элементы неотрицательны.

2. Положительны все главные миноры матрицы (Е - А).

3. Матричный ряд Е + А + А² + ... = ∑A^k сходится, причем ∑А^k = (Е - А)^-1.

4. Максимальное собственное число матрицы А меньше единицы - λ(А) < 1 (собственными значениями (числами) квадратной матрицы А называются корни (решения) характеристического уравнения |A - λЕ| = 0).

Пример 1. Оценить продуктивность матрицы

.

Решение. Оценку произведем по второму и четвертому признакам.

1. Рассмотрим матрицу .

Определим ее главные миноры: Δ₁ = 0,6 > 0; Δ₂ = 0,54 - 0,06 = 0,48 > 0. Таким образом, матрица А - продуктивна.

Рассмотрим характеристическое уравнение |А — λЕ| = 0:

|A-λE| = (0,4 - λ)(0,1 - λ) – 0,06 = λ² - 0,5λ - 0,02 = 0;

Таким образом,

следовательно, матрица А продуктивна.

Рассмотрим межпродуктовую балансовую модель на примере предприятия, у которого в каждом цехе производится только один вид продукции в объеме X_i (i = 1, ..., n). Отдельный вид продукции может быть использован как промежуточный продукт, идущий на внутреннее потребление (передаваемый другим цехам), и как конечный продукт, поступающий непосредственно потребителю.

Обозначим через X_ij количество продукции i-го вида, потребляемой для изготовления j-й продукции в количестве X_j; через Y_i - выпуск конечной продукции i-го вида.

Общий (валовый) выпуск продукции i-го вида (потребность в ее производстве) равен сумме промежуточного и конечного продукта:

Обозначим через а_ij = Х_ij / Х_j норму расхода продукции i-го вида на производство продукции j-го вида, т.е. в принятой интерпретации это коэффициент прямых затрат. Тогда

Эта система балансовых уравнений в матричной форме имеет вид:

X = АХ + Y.

Используя приведенное матричное уравнение, можно найти:

1) валовый выпуск продукции путем умножения матрицы коэффициентов полных затрат на вектор конечной продукции:

X = (E - A)^-1Y;

2) распределение продукции между цехами путем умножения коэффициентов прямых затрат на общий выпуск:

X_ij = a_ijX_j.

Пример 2. Предприятие выпускает продукцию трех видов, причем каждое из его структурных подразделений (цехов) специализируется на выпуске только одного вида: первый цех выпускает продукцию первого вида, второй - продукцию второго вида, третий - продукцию третьего вида. Часть продукции идет на внутреннее потребление, остальная является конечным продуктом.

Имеются экономические оценки коэффициентов прямых затрат и объемов конечной продукции:

Требуется составить баланс производства и распределения продукции предприятия.

Решение. Модель баланса производства и распределения продукции предприятия можно представить следующей системой уравнений:

Отсюда определяем валовую продукцию цехов (студентам необходимо уметь решать системы уравнений методом Жордана-Гаусса и методом обратной матрицы):

X₁ = 60, X₂ = 40, X₃ = 30.

Распределение продукции между цехами на внутреннее потребление определяем из соотношения

X_ij = a_ijX_j, т.е. X₁₁ = 0,1*60 = 6; X₁₂ = 0,3*40 = 12 и т.д.

В итоге плановая модель — баланс производства и распределения продукции предприятия — будет иметь следующий вид (см. табл.)